Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Sujet zéro - Spécialité mathématiques - Corrigé
Fiche annale

Exercice 1

Pour tout réel xx, (ex)3(\text{e}^x)^3 est égal à :

a) ex×e3\text e^x\times \text e^3 b) ex+3\text e^{x+3} c) e3x\text e^{3x} d) ex3\text e^{x^3}
  • « e3x\text e^{3x} ».
  • Pour tout entier naturel nn et pour tout réel xx : enx=(ex)ne^{nx}={(\text{e}^x)}^n.
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Astuce

Pour réviser les propriétés de la fonction exponentielle, voir le cours « Fonction exponentielle », partie 2.a.

Pour tout réel xx, cos(x+π)\cos(x+\pi) est égal à :

a) sinx\sin x b) cosx-\cos x c) cosx\cos x d) sinx-\sin x
  • « cosx-\cos x ».
  • Il est facile de retrouver ce type d’égalité à partir du cercle trigonométrique.

Alt texte Angles associés et cercle trigonométrique

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Astuce

Pour réviser les propriétés des angles associés, voir le cours « Fonctions trigonométriques », partie 2.b.

On souhaite modéliser le niveau de la mer par une suite (Un)(Un) de façon que U0U0 représente le niveau de la mer, en mm\text{mm}, en 2003 et que UnUn représente le niveau de la mer, en mm\text{mm}, nn années après 2003.
Selon le site www.notre-planete.info/terre/climatologie
meteo, on constate une hausse assez rapide du niveau de la mer, qu’on estime à 3,3 mm3,3\ \text{mm} par an depuis 2003.
Pour traduire ce constat, la suite (Un)(U_n) doit être :

a) une suite géométrique de raison 3,33,3 b) une suite géométrique de raison 1,0331,033 c) une suite arithmétique de raison 1,0331,033 d) une suite arithmétique de raison 3,33,3
  • « une suite arithmétique de raison 3,33,3 ».

Nous regardons l’énoncé, qui nous dit que, chaque année, le niveau de la mer, en mm\text{mm}, augmente de 3,3 mm3,3\ \text{mm}.
Mathématiquement, cela nous donne : pour tout nn entier naturel, Un+1=Un+3,3U{n+1}=Un + 3,3, avec U0U0 le niveau de la mer en 2003.
Nous savons qu’une suite (un)(u
n) est arithmétique si et seulement si il existe un réel rr tel que un+1=un+ru{n+1}=un+r.

  • La suite (Un)(U_n) est arithmétique, de raison r=3,3r=3,3.
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Astuce

Pour réviser les définition de ces suites, voir le cours « Les suites arithmétiques et géométriques ».

Les figures ci-dessous représentent quatre polynômes du second degré dans un repère orthonormé et le signe de leur discriminant Δ\Delta.
Parmi ces propositions, laquelle est juste ?

a)

Alt texte

b)

Alt texte

c)

Alt texte

d)

Alt texte

  • Δ>0\Delta>0 et la courbe représentative coupe l’axe des abscisses 22 fois.

Nous savons :

  • si Δ>0\Delta>0, alors l’équation du second degré correspondant au polynôme admet 22 solutions distinctes, et la courbe représentative du polynôme coupe donc 22 fois l’axe des abscisses ;
  • si Δ=0\Delta=0, alors l’équation du second degré correspondant au polynôme admet 11 solution double, et l’axe des abscisses est tangent à la courbe représentative du polynôme ;
  • si Δ<0\Delta<0, alors l’équation du second degré correspondant au polynôme n’admet aucune solution, et la courbe représentative du polynôme ne coupe donc pas l’axe des abscisses.
  • Seul le graphe de la réponse a correspond au signe du Δ\Delta associé.
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Astuce

Pour réviser les liens entre discriminant d’un polynôme et courbe représentative, voir le cours « Le second degré », partie 2.a.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
DD est une droite dont une équation cartésienne est 2xy+3=02x-y+3=0. Parmi ces propositions, laquelle est juste ?

La droite DD passe par le point AA de coordonnées (2 ;1)(2\ ;\,1). La droite DD est dirigée par le vecteur directeur de coordonnées (12)\begin{pmatrix}-1 \ 2 \end{pmatrix}. Le vecteur de coordonnées (21)\begin{pmatrix}2 \ -1 \end{pmatrix} est normal à la droite DD. Le point d'intersection de la droite DD avec l’axe des abscisses a comme coordonnées (0 ;3)(0\ ;\,3).
  • « Le vecteur de coordonnées (21)\begin{pmatrix}2 \ -1 \end{pmatrix} est normal à la droite DD ».

Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0ax+by+c=0, alors le vecteur n\vec n de coordonnées (ab)\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} est un vecteur normal à la droite.

  • Ici, avec a=2a=2 et b=1b=-1, nous obtenons un vecteur normal de coordonnées (21)\begin{pmatrix}2 \ -1 \end{pmatrix}.

Pour la réponse a, il suffit de voir que 2×21+3=62\times 2 - 1 + 3 =6 pour en déduire que AA n’appartient pas à DD.
Pour la réponse b, un vecteur directeur a pour coordonnées (ba)\begin{pmatrix}-b \ a \end{pmatrix}, soit (12)\begin{pmatrix}1 \ 2 \end{pmatrix}, qui n’est pas colinéaire à (12)\begin{pmatrix}-1 \ 2 \end{pmatrix}.
Pour la réponse d, le point de coordonnées (0 ;3)(0\ ;\,3) appartient bien à DD, mais évidemment pas à l’axe des abscisses.

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Astuce

Pour réviser vecteur directeur et vecteur normal, ainsi que les équations cartésiennes, voir le cours « Géométrie repérée », parties 2.a et 3.a.

Exercice 2

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.
Dans un repère orthonormé d’unité 30 cm30\ \text{cm} ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe CfC_f représentative de la fonction ff définie sur l’intervalle [1 ;2][-1\ ;\,2] par :

f(x)=(x+2)exf(x)=(-x+2)\text{e}^x

Alt texte

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe CfC_f. On nomme LL la longueur de la plaque rectangulaire et ll sa largeur.

On note ff^{\prime} la fonction dérivée de ff.

a. Montrer que, pour tout réel xx de l’intervalle [1 ;2][-1\ ;\,2], f(x)=(x+1)exf^{\prime}(x)=(-x+1)\text{e}^x .

L’énoncé nous dit que la fonction ff est dérivable sur [1 ;2][-1\ ;\,2], et nous cherchons ff^{\prime}.

Il s’agit donc de calculer la dérivée d’un produit de 22 fonctions, avec la formule (uv)=uv+uv(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.

  • Nous posons :
  • u(x)=x+2u(x)=-x+2,
  • u(x)=1u^{\prime}(x)=-1 ;
  • v(x)=exv(x)=\text{e}^x,
  • v(x)=exv^{\prime} (x)=\text{e}^x (par définition de la fonction exponentielle, (ex)=ex(\text{e}^x)^{\prime} =\text{e}^x).
  • Nous appliquons la formule :

f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)=1×ex+(x+2)×ex=ex×(1x+2)=(x+1)ex\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= u^{\prime} (x) v(x) + u(x) v^{\prime} (x) \ &=-1\times \text{e}^x+(-x+2)\times \text{e}^x \ &=\text{e}^x \times (-1-x+2) \ &=(-x+1)\text{e}^x \end{aligned}

  • Pour tout x[1 ;2]x\in [-1\ ;\,2], f(x)=(x+1)exf^{\prime} (x)=(-x+1) \text{e}^x.

b. En déduire le tableau de variations de la fonction ff sur [1 ;2][-1\ ;\,2].

  • Nous commençons par chercher la ou les solutions de l’équation f(x)=0f^{\prime} (x)=0 sur [1 ;2][-1\ ;\,2].

La fonction exponentielle ne s’annule pas sur R\mathbb R, et donc elle ne s’annule pas sur [1 ;2][-1\ ;\,2].

  • Nous en déduisons :

f(x)=0x+1=0x=1\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0&\Leftrightarrow -x+1=0 \ &\Leftrightarrow x=1 \end{aligned}

  • Nous étudions maintenant le signe de ff^{\prime} sur [1 ;2][-1\ ;\,2].

La fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb R, et donc elle est strictement positive sur [1 ;2][-1\ ;\,2].

  • Le signe de f(x)f^{\prime}(x) dépendra du signe de x+1-x+1.
  • Si x<1x<1, alors x+1>0-x+1>0 et f(x)>0f^{\prime} (x)>0.
  • Si x>1x>1, alors x+1<0-x+1<0 et f(x)<0f^{\prime} (x)<0.
  • Nous calculons les valeurs de f(x)f(x) aux bornes de son intervalle et en x=1x=1.
  • f(1)=3×e1=3ef(-1)=3\times \text{e}^{-1}=\dfrac 3{\text{e}}.
  • f(1)=1×e1=ef(1)=1\times\text{e}^1=\text{e}.
  • f(2)=0×e2=0f(2)=0\times\text{e}^2=0.
  • Nous pouvons maintenant construire le tableau de variations.

Alt texte

La longueur LL de la plaque rectangulaire est de 90 cm90\ \text{cm}. Trouver sa largeur ll exacte en cm\text{cm}.

En x=1x=1, ff^{\prime} s’annule et change de signe : positive pour x<1x<-1, négative pour x>1x>-1.

  • La fonction ff admet un maximum en x=1x=1, qui vaut e\text{e}.

Selon la représentation donnée dans l’énoncé, la largeur ll est égale à ce maximum.
Toujours selon l’énoncé, le repère est orthonormé et l’unité vaut 30 cm30\ \text{cm}.

  • l=30e cml=30\text{e}\ \text{cm}.
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Astuce

Exercice 3

Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :

  • un contrat « Tous risques » dont le montant annuel est de 500 euros500\ \text{euros} ;
  • un contrat « de base » dont le montant annuel est de 400 euros400\ \text{euros}.

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :

  • 60 %60\ \% des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans) ;
  • les autres clients ont un véhicule ancien ;
  • parmi les clients possédant un véhicule récent, 70 %70\ \% ont souscrit au contrat « Tous risques » ;
  • parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50 %50\ \% ont souscrit au contrat « Tous risques ».

On considère un client choisi au hasard.
D’une manière générale, la probabilité d’un événement AA est notée P(A)P(A) et son événement contraire est noté Aˉ\bar A.

On note les événements suivants :

  • RR : « Le client possède un véhicule récent » ;
  • TT : « Le client a souscrit au contrat “Tous risques” ».

On note XX la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.

Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.

Alt texte

Nous traduisons l’énoncé en termes de probabilités :

  • 60 %60\ \% des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans),
  • P(R)=0,6P(R)=0,6 ;
  • les autres clients ont un véhicule ancien,
  • P(Rˉ)=1P(R)=0,4P(\bar R)=1-P(R)=0,4 ;
  • parmi les clients possédant un véhicule récent, 70 %70\ \% ont souscrit au contrat « Tous risques »,
  • PR(T)=0,7P_R(T)=0,7,
  • PR(Tˉ)=0,3P_R(\bar T)=0,3 ;
  • parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50 %50\ \% ont souscrit au contrat « Tous risques »,
  • PRˉ(T)=0,5P_{\bar R}(T)=0,5,
  • pRˉ(Tˉ)=0,5p_{\bar R}(\bar T)=0,5.

Nous pouvons donc compléter facilement l’arbre pondéré.

Alt texte

Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques », c’est-à-dire calculer P(RT)P(R\cap T).

Nous repérons le chemin qui correspond à RTR\cap T.

  • Nous multiplions alors les probabilités qui composent ce chemin.

P(RT)=P(R)×PR(T)=0,6×0,7=0,42\begin{aligned} P(R\cap T)&=P(R)\times P_R(T) \ &= 0,6\times 0,7 \ &=0,42 \end{aligned}

La probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques » est de 0,420,42.

Montrer que P(T)=0,62P(T)=0,62.

Nous voyons sur l’arbre pondéré que 22 chemins aboutissent à l’événement TT : RTR\cap T et RˉT\bar R\cap T.

  • Il suffit alors d’additionner les probabilités des 22 chemins.

P(T)=P(RT)+P(RˉT)=0,42+P(Rˉ)×PRˉ(T)=0,42+0,4×0,5=0,42+0,2=0,62\begin{aligned} P(T)&=P(R\cap T)+ P(\bar R\cap T) \ &= 0,42 + P(\bar R)\times P_{\bar R}(T) \ &=0,42 + 0,4\times 0,5 \ &=0,42+0,2 \ &=0,62 \end{aligned}

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Astuce

Pour réviser les probabilités conditionnelles et se rappeler les arbres pondérés, voir le cours « Probabilités conditionnelles et indépendance ».

La variable aléatoire XX ne prend que deux valeurs aa et bb. Déterminer ces deux valeurs, les probabilités P(X=a)P(X=a) et P(X=b)P(X=b), puis l’espérance de XX.

  • Il n’y a que 22 types de contrat, avec donc 22 seuls montants annuels : 500500 et 400 euros400\ \text{euros}.
  • Ainsi, choisissons a=500a=500 et b=400b=400.
  • La probabilité que le montant annuel soit de 500 euros500\ \text{euros}, soit P(X=500)P(X=500), est tout simplement égale à la probabilité qu’un client pris au hasard ait souscrit au contrat « Tous risques », soit P(T)P(T).
  • Nous avons calculé cette probabilité à la question 3.

P(X=500)=P(T)=0,62\begin{aligned} P(X=500)&=P(T) \ &=0,62 \end{aligned}

  • Pour une loi de probabilité, nous savons que la somme des probabilités est égale à 11, et nous n’avons ici que deux valeurs possibles.
  • Nous calculons ainsi facilement P(X=400)P(X=400).

P(X=400)=1P(X=500)=10,62=0,38\begin{aligned} P(X=400)&=1-P(X=500) \ &=1-0,62 \ &=0,38 \end{aligned}

  • Pour calculer l’espérance de XX, nous appliquons simplement la formule :

E(X)=P(X=500)×500+P(X=400)×400=0,62×500+0,38×400=462\begin{aligned} E(X)&=P(X=500)\times 500 + P(X=400)\times 400 \ &=0,62\times 500 + 0,38\times 400 \ &=462 \end{aligned}

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Astuce

Pour réviser les variables aléatoires et ses indicateurs, dont l’espérance, ainsi que les lois de probabilité associées, voir le cours « Variable aléatoire et loi de probabilité ».

Exercice 4

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 %20\ \% de son intensité lumineuse. L’intensité lumineuse est exprimée en candela (cd\text{cd}).
On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à 400 cd400\ \text{cd}.

On superpose nn plaques de verres identiques (nn étant un entier naturel) et on désire mesurer l’intensité lumineuse InIn du rayon à la sortie de la nn-ième plaque.
On note I0=400I
0=400 l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite (In)(I_n).

Montrer par un calcul que I1=320I_1=320.

En ajoutant une plaque, nous faisons diminuer de 20 %20\ \% l’intensité du rayon lumineux initial.

  • D’où le calcul :

I1=400×(10,2)=400×0,8=320\begin{aligned} I_1 &= 400 \times (1-0,2) \ &= 400\times 0,8 \ &=320 \end{aligned}

a. Pour tout entier naturel nn, exprimer In+1I{n+1} en fonction de InIn.

À chaque fois que le rayon lumineux traversera une plaque de verre, il perdra, en « sortie » 20 %20\ \% de son intensité d’« entrée ».

  • Nous pouvons donc exprimer, pour tout entier naturel nn, In+1I{n+1} en fonction de InIn de la façon suivante :

In+1=In×(10,2)=0,8×In\begin{aligned} I{n+1} &= In \times (1-0,2) \ &= 0,8\times I_n \end{aligned}

b. En déduire la nature de la suite InI_n. Préciser sa raison et son premier terme.

Une suite (un)(un) est géométrique si et seulement si il existe un réel qq tel que, pour tout entier naturel nn, un+1=q×unu{n+1}=q\times u_n. qq est alors la raison de la suite.

  • Nous en déduisons que (In)(In) est une suite géométrique de raison q=0,8q=0,8 et de premier terme I0=400I0=400.

c. Pour tout entier naturel nn, exprimer InI_n en fonction de nn.

Si une suite (un)(un) est une suite géométrique de raison qq et de premier terme u0u0, alors, pour tout entier naturel nn, un=u0×qnun = u0\times q^n.

  • Nous en déduisons, puisque (In)(In) est une suite géométrique de raison 0,80,8 et de premier terme I0=400I0=400, que, pour tout entier naturel nn :

In=400×0,8nI_n = 400 \times 0,8^n

On souhaite déterminer le nombre minimal nn de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 %70\ \% de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante.

def nombrePlaques(J):

I=400

n=0

while I > J:

I = 0.8*I

n = n+1

return n

a. Préciser, en justifiant, le nombre jj de sorte que l’appel nombrePlaques(j) renvoie le nombre de plaques à superposer.

Étudions ce que fait la fonction Python :

  • Elle demande donc une valeur J à l’utilisateur.
  • Elle assigne à la variable I la valeur de 400 , et à la variable n la valeur de 0 , ce qui correspond à la valeur et au rang de I0I_0.
  • Elle entre ensuite dans une boucle WHILE , et elle compare la valeur de I à celle de J :
  • si la valeur de I est strictement supérieure à celle de J :
  • elle assigne une nouvelle valeur à I en multipliant sa valeur à l’entrée par 0,8 , qui est la raison de notre suite (In)(I_n) ; elle obtient donc une nouvelle valeur I en sortie qui sera égale à l’intensité du rayon après avoir traversé une plaque ;
  • elle incrémente la valeur de n ;
  • elle se représente à l’entrée de la boucle, avec ces nouvelles valeurs de I et n ;
  • si la valeur de I est inférieure ou égale à celle de J :
  • elle n’entre pas dans la boucle ;
  • avant de s’arrêter, elle renvoie la valeur de n , qui est donc le nombre de plaques qu’il faut superposer pour avoir une intensité inférieure ou égale à J .

Nous cherchons à savoir le nombre nn de plaques à superposer pour que le rayon initial ait au moins perdu 70 %70\ \% de sa valeur initiale (soit I0I_0).

  • C’est donc à l’intensité jj telle que j=I0×(10,7)j=I_0\times (1-0,7) que nous intéressons :

j=I0×0,3=400×0,3=120\begin{aligned} j&=I_0\times 0,3 \ &= 400 \times 0,3 \ &=120 \end{aligned}

b. Le tableau suivant donne des valeurs de InI_n. Combien de plaques doit-on superposer ?

nn 00 11 22 33 44 55 66 77
InI_n 400400 320320 256256 204,8204,8 163,84163,84 131,07131,07 104,85104,85 83,88683,886

Le tableau nous donne les valeurs de I0I0 à I7I7. Il nous suffit de trouver le rang du premier terme où InIn est inférieur à j=120j=120. Il s’agit de I6104,85I6\approx 104,85.

  • Il faut donc superposer 66 plaques pour obtenir un rayon d’intensité au moins inférieure de 70 %70\ \% à celle du rayon initial.
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Astuce

Pour réviser les propriétés des suites géométriques, voir le cours « Les suites arithmétiques et géométriques ».